有尾目(有尾類)と聞いても分からないと思います。
両生類は有尾目と無尾目と無足目の3種類に分類され、有尾目は成体で尾のある、イモリやサンショウウオや、ウーパールーパーなどです。
無尾目は成体で尾の無いカエルです。
無足目は日本には生息しておらず、成体は足が無くミミズやウナギの様な姿で、中米から南米にかけてや、アフリカの一部に生息しており、コータオアシナシイモリという種が、東南アジアに生息しています。
私にとってこの無足目は、気持ち悪い要素のみで、ニョロニョロした生物が嫌いな人は、検索して見ない方が良いです。
有尾目は尾に体のバランスをとるなどの、役割があったので尾は残り、無尾目(カエル)はジャンプする際に邪魔なので、尾を無くしていった様です。
カエルは数を減らしながらも、色々な場所でしぶとく生き残っていますが、有尾目は水路や水源が、災害や人の手で変化すると、生息できなくなります。
私は40年程前に家の周りの田んぼで、アカハライモリを見ましたがそれを最後に、農業用水の整備が進んだ為か、有尾目を全く見なくなりました。

有尾目の地上で生きる種や、地上と水中を行き来する種は、週に2·3回給餌して水が濁ったら交換し、フンが目立ち始めたら取り除き、2週に1回床材を全交換すれば良い種がいるので、その種の場合は犬や猫より飼育が楽かもしれません。
水中で生きる種だと肉食の熱帯魚と、同じ様に世話をすれば良いので、ヒーターが不要な分、熱帯魚より飼育が楽かもしれません。(水温の上昇には注意する)
ただし有尾目もカエルと同様に、作業中に逃げられ易いので注意してください。

もし避難所で有尾目を飼育可能になったとしても、許可してもらえるのは水から出られない、ウーパールーパー位でしょうか。